sistema de ecuaciones lineales 

Introducción
Un sistema de ecuaciones es un grupo de ecuaciones que representan líneas rectas.
Una ecuación es una igualdad en la que los términos pueden ser conocidos o desconocidos.

Ecuaciones simultáneas
Dos o más sistemas de ecuaciones con dos o más incógnitas, se pueden considerar simultáneas, cuando los valores de las incógnitas satisfacen a las ecuaciones entre sí.
Las ecuaciones:

x + 6y = 27
7x - 3y = 9

Son simultáneas porque x = 3, y = 4 son valores de las incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones.

Ecuaciones equivalentes
Son las ecuaciones que se obtienen una en función de la otra, es decir, ampliando o reduciendo una ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la inicial.

 ejemplo 
Las ecuaciones:

3x + 6y = 12
x + 2y = 4

Son equivalentes porque dividiendo entre 3 la primera ecuación se obtiene la segunda ecuación. Estas ecuaciones tienen una serie infinita de soluciones comunes.


Sistemas de dos ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas
Es la reunión de varias ecuaciones que tienen soluciones comunes para los valores de las incógnitas.

Para desarrollar un sistema de ecuaciones de estas características es indispensable obtener una sola ecuación con una incógnita a partir de las dos ecuaciones iniciales.

Este proceso se conoce como eliminación de variables y existen varios métodos de aplicación.

Métodos de eliminación o solución 
Los métodos de eliminación más utilizados en el desarrollo de sistemas de ecuaciones son:

Eliminación por igualación

Consiste en despejar de las ecuaciones dadas la misma variable e igualarlas para obtener una sola ecuación con una incógnita.

Resolver el sistema:

3x - 2y = - 2 .........(1)
5x + 8y = - 60 ......(2)


Solución:

Para comprobar que los valores obtenidos satisfacen las dos ecuaciones, los reemplazamos en cada una de ellas verificando que se conviertan en identidades.

Observa las siguientes ecuaciones:

(1).......3 x - 2y = - 2
3(- 4) - 2(-5) = -2
-12 + 10 = - 2
-2 = - 2


(2)..... 5x + 8y = -60
5(-4) + 8(-5) = -60
-20 - 60 = - 60
- 60 = - 60

Eliminación por sustitución

Este método consiste en despejar cualquiera de las incógnitas de una de las ecuaciones dadas y reemplazar el valor encontrado en la otra ecuación, para obtener una sola ecuación con una sola incógnita.

Resolver el sistema

10x + 18y = -11 .....(1)

16x -.9y = -.5 .....(2)

Eliminación por reducción

En el desarrollo de este método se trata de hacer iguales los coeficientes de una de las dos incógnitas de las ecuaciones dadas, con el fin de que al sumar algebraicamente estas ecuaciones se elimine una variable, para luego obtener una sola ecuación con una sola incógnita.

Ahora, se sustituye el valor de x en cualquiera de las ecuaciones iniciales, por ejemplo, reemplacemos en la ecuación (2):


Ecuación (2) …………………… 15x + 19 y = -31
15(3) + 19 y = -31
45 + 19 y = -31
19 y = -31 - 45
19 y = -76
y =- 4

Reemplacemos estos valores encontrados en cualquiera de las ecuaciones iniciales, por ejemplo, en la ecuación (1):

Ecuación (1) ………………… 12x - 17y = 104
12(3) - 17(-4) = 104
36 + 68 = 104
104 = 104

Sistemas numéricos de dos ecuaciones enteras con dos incógnitas

Son sistemas de ecuaciones en los que antes de aplicar alguno de los métodos anteriores, se deben simplificar. Después de simplificar se procede al desarrollo mediante alguno de los métodos estudiados. Se recomienda utilizar el de eliminación por reducción por ser el método más práctico y ágil de aplicar

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

12(x + 2y) - 8(2x + y) = 2(5x - 6y)..... (1)
20(x - 4y) = -10.................................. (2)

Eliminando los signos de agrupación, (paréntesis):

12x + 24y - 16x -8 y = 10x - 12y........(1)
20x - 80y = -10...................................(2)


Por transposición de términos:

12x- 16x - 10x = -12y - 24y + 8........(1)
20x - 80y = -10..................................(2)


Reduciendo términos semejantes:

-14x + 28y = 0........(1)
20x - 80y = -10.......(2)


Simplificando por 14 la ecuación (1)…

- x + 2y = 0


Simplificando por 10 la ecuación (2)…

2x - 8y = -1

Para verificar si los valores encontrados satisfacen las ecuaciones iniciales, en una de ellas reemplazamos estos valores y comprobamos que el resultado sea una identidad.

Sistemas numéricos de dos ecuaciones fraccionarias y literales con dos incógnitas

Son sistemas de ecuaciones en los que antes de aplicar alguno de los métodos anteriores, se deben convertir a ecuaciones lineales. Después de convertir a ecuaciones lineales se procede al desarrollo mediante alguno de los métodos estudiados.

ejemplo 

Ahora, se reemplaza el valor encontrado de y = a + b en cualquiera

de las dos ecuaciones

(1) ó (2), por ejemplo, reemplazando en la ecuación (2):

Resolución de ecuaciones lineales mediante el método gráfico

Se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la gráfica de cada una de las ecuaciones.

Resolver gráficamente el sistema de ecuaciones
(1).......... 3x + 5y = 7
(2).......... 2x - y = - 4
Cada una de las ecuaciones las convertimos a la forma general..... y = mx + b

Ahora, se le dan valores a la variable x, para obtener valores de la variable y, en cada una de las ecuaciones:

Observemos que en las dos ecuaciones hay una pareja de puntos que satisfacen los valores de las variables para las dos ecuaciones. Al hacer la gráfica de cada una de las ecuaciones iniciales nos damos cuenta que estas rectas se cortan en un punto común (-1, 2).
Este punto de corte será la solución del sistema de ecuaciones propuesto.
Es decir:
x = -1
y = 2

Gráfica

tomado de 

https://davidbuiles.files.wordpress.com/2010/02/sistemas-de-ecuaciones.doc